有关抽象函数的全面探析

作者:时间:2010-06-21 14:37:04  来源:  阅读次数:708次 ]
摘要:抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识,更能考查学生的数学综合能力。
关键词:抽象函数;定义 域;值域;对称性
        抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式,其一般形式为y=f(x),且无法用数字和字母的 函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能 力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。
  解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几 年来高考题中不断出现,在2009年的全国各地高考试题中,抽象函数遍地开 花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
  一、抽象函数的定义域
   例1已知函数f(x)的定义域为[1,3],求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) (a>0)的定义域。
  解析:由由a>0
        知 只有当0<a<1时,不等式组才有解,具体为{x|1+a<x≤3-a;否则不等式组的解集为空集,这说明当且仅当0<a<1时,g(x)才能是x的函 数,且其定义域为(1+a,3-a]。
        点评:1.已知f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域由 a≤g(x)≤b,解出x即可得解;2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
   二、抽象函数的值域
  解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定。
  例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1] 求y=(3x+2)的值域。
  解析:因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同,故 函数y=f(3x+2)的值域也为[-1,1]。
  三、抽象函数的奇偶性
  四、抽象函数的对称性
        例3 已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数,函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为 (   )
  A、 2    B、 0     C、  1     D、不能确定
  解析:由y=f(2x+1)求得其反函数为 y=,∵ y=f(2x+1) 是奇函数,∴y=也是奇函数,∴。∴ , ,而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对 称,∴g(x)+ g(-x)=故选A 。
        五、抽象函数的周期性
  例4、(2009全国卷Ⅰ理)函数的定义域为 R,若与都是奇函数,则(    )         
  (A) 是偶函数         (B) 是奇函数  
   (C)           (D) 是奇函数
        解: ∵与都是奇函数,,
        函数关于点,及点对称,函 数是周期的周期函数.,,即是奇函数。故选D
        定理1.若函数y=f (x) 定义域为R,且满足条件 f (x+a)=f (x-b),则y=f (x) 是以T=a+b为周期的周期函数。
        定理2.若函数y=f (x) 定义域 为R,且满足条件f (x+a)= -f (x-b),则y=f (x) 是以T=2(a+b)为周期的周期函数。
        定理3.若 函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b  (a≠b)对称,则y=f (x) 是以T=2(b-a)为周期的周期函数。
     定理4.若函数y=f (x)的图像关于点(a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称,则y=f (x) 是以 T=2(b-a)为周期的 周期函数。
        定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称,则y=f (x) 是 以 T=4(b-a)为周期的周期函数。
        性质1:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及 f(b-x)=f(b+x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a-b);
        性质2:若函数f(x)满足 f(a-x)= - f(a+x)及f(b-x)=- f(b+x),(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a-b).
        特 别:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是偶函数,则函数f(x)有周期2a.
        性质3:若函 数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)= - f(b+x) (a≠b,ab≠0), 则函数有周期4(a-b).
        特 别:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是奇函数,则函数f(x)有周期4a。
        从以上例题可 以发现,抽象函数的考查范围很广,能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟,掌握上述有关的结论和类型题相应的解法,则会得心应手。

参考文献:
[1]陈诚.抽象函数问题分类解析[J].数理化学习·,2008(8).

本站论文资源均为来自网络转载,免费提供给广大作者参考,不进行任何赢利,如有版权问题,请联系管理员删除! 快速论文发表网(www.ksfbw.com)本中心和国内数百家期刊杂志社有良好的合作关系,可以帮客户代发论文投稿.

投稿邮箱:ksfbw@126.com
客服Q  Q: 论文发表在线咨询82702382
联系电话:15295038833

本站论文资源均为来自网络转载,免费提供给广大作者参考,不进行任何赢利,如有版权问题,请联系管理员删除!

广告推荐

文章评论

共有 0 位网友发表了评论

阅读排行

推荐文章

最新文章